10 أوراق يجب قراءتها والتي شكلت براهين المعرفة الصفرية الحديثة

المصدر: مجتمع Denglian

لقد حقق إثبات المعرفة الصفرية تطورًا كبيرًا في الأربعين عامًا الماضية إلى مستويات غير مسبوقة يتم تحقيق التعقيد والكفاءة. اليوم، تظهر أوراق ومشاريع جديدة كل يوم، بناءً على أساس غني من الأفكار والابتكار.

هل تريد أن تعرف كيف بدأ كل شيء؟ في هذه المقالة، سنتعمق في تاريخ إثباتات المعرفة الصفرية، ونستكشف 10 أوراق بحثية بارزة ساعدت في تشكيل هذا المجال.

1 - الأصل

غولدواسر، ميكالي، راكوف - التعقيد المعرفي لأنظمة البرهان التفاعلية (1985) [^1]

نحن الأوائل معلم هام يعيدنا إلى تلك الورقة البحثية عام 1985! قدم هذا العمل العديد من المصطلحات والمفاهيم الأساسية التي تظل في جوهر إثباتات المعرفة الصفرية اليوم.

أولاً، تحدد الورقة نظام الإثبات، الذي نموذجه عبارة عن اتفاق بين طرفين يتضمن آلتين تورينج احتماليتين: المُبرِح و مدقق. الهدف من نظام الإثبات هو تمكين المُثبِّت من إقناع المُحقِّق بأن مُدخلًا معينًا x ينتمي إلى لغة رسمية L. في معظم الأعمال المبكرة، كان المبرهن غير مقيد حسابيًا، في حين كان المدقق مقيدًا بحسابات الوقت متعددة الحدود. في نهاية التفاعل، يقوم المدقق بإخراج "قبول" أو "رفض".

2 - التطبيق الأول

فيات شامير - كيف تثبت نفسك: حل عملي لمشكلة تحديد الهوية والتوقيع h2> strong> (1986) [^2]

هذه الورقة البحثية التي كتبها فيات وشامير، والتي نُشرت بعد عام من العمل الأساسي على إثباتات المعرفة الصفرية، قدمت التطبيق العملي الأول لهذه المفاهيم. لقد اقترحوا بروتوكولين: نظام التعريف، وهو نظام تفاعلي، ونظام التوقيع، وهو نظام غير تفاعلي. والفرق الرئيسي بين الاثنين هو أنه في نظام تحديد الهوية، يمكن لطرف ثالث إقناع نفسه ببيان كاذب عن طريق إنشاء سجل صالح. في بروتوكول التوقيع، حتى المُثبت غير النزيه لا يمكنه إقناع نفسه ببيان كاذب، مما يجعل التوقيع غير قابل للتزوير.

يطبق مخطط التعريف نظام إثبات الباقي التربيعي كبروتوكول تفاعلي، حيث يرسل المدقق تحديًا عشوائيًا ويستجيب المثبت وفقًا لذلك. تقوم أنظمة التوقيع بتعديل ذلك عن طريق استبدال اختبار المدقق باستدعاء دالة التجزئة.

هل يبدو اسم المؤلف مألوفًا؟ كان هذا هو المثال الأول لتقنية عامة قوية تُعرف الآن على نطاق واسع باسمالاستدلال فيات-شامير. إنه يتيح تحويل أي نظام إثبات تفاعلي للعملة العامة إلى نظام غير تفاعلي عن طريق استبدال تحدي المدقق باستعلام إلى أوراكل عشوائي (في الممارسة العملية وظيفة تجزئة التشفير).

3 - ما الذي يمكننا إثباته بالضبط؟

Goldreich, Micali, Wigderson - كيفية إثبات جميع بيانات NP ومنهجية تصميم بروتوكول التشفير في صفر معرفة (1987) [^ 3 ]

تعطي هذه الورقة البحثية لعام 1986 نتيجة رائعة:تعترف كل لغة في NP بنظام إثبات المعرفة الصفرية . وهذا أمر مهم لأنه يعني أنه يمكننا إثبات صحة أي عبارة يمكن التحقق منها في زمن متعدد الحدود دون الكشف عن معلومات إضافية. يوضح المؤلفون ذلك من خلال توفير نظام إثبات لقابلية تلوين الرسوم البيانية بثلاثة ألوان، حيث تكمن المشكلة في تحديد ما إذا كان من الممكن تلوين عقد الرسم البياني بثلاثة ألوان بحيث لا تشترك عقدتان متجاورتان في نفس اللون. علاوة على ذلك، فإن الدليل يفترض فقط وجود التشفير الاحتمالي.

حدس الإثبات هو كما يلي: في كل جولة،

• < نمط القسم ="text-align: left;">يختار المثل ترتيبًا عشوائيًا لثلاثة ألوان،
• يعد المُثبِّت بلون الترتيب لكل عقدة،
• < section style="text-align: left;">يقوم المدقق بالاستعلام عن عقدتين متجاورتين ويسأل عن لونهما،
• يفتح المثل الوعد من خلال الكشف عن لون عقدة الاستعلام.
• إذا تطابقت الألوان، يرفض المدقق على الفور .

بتشغيل هذا البروتوكول بدرجة متعددة الحدود، يكون المدقق واثقًا مع وجود احتمال كبير بأن المثبت يعرف قيمة صحيحة 3- قم بالتلوين دون تعلم أي معلومات لأن الألوان التي تفتح تكون عشوائية في كل خطوة!

هناك ورقتان بحثيتان أخريان في هذا العمل جديرتان بالملاحظة بنفس القدر: كل شيء يمكن إثباته يمكن إثباته بدون معرفة[^4], مما يوضح أن كل لغة في IP لديها نظام إثبات المعرفة الصفرية، وIP = PSPACE [^5]، مما يوضح أن IP قوي مثل PSPACE.

4 - أصول PCP والبراهين المختصرة غير التفاعلية

هذا تُعد الورقة البحثية التي كتبها ميكالي عام 2000 مساهمة مهمة في تاريخ إثباتات المعرفة الصفرية. بل يمكن اعتباره أول بناء SNARK، على الرغم من أن مصطلح SNARK لم تتم صياغته بعد!

يعمل بناء ميكالي على تحويل أي دليل قابل للتحقق احتماليًا (PCP) إلى دليل موجز وغير تفاعلي. PCP هو دليل يمكن التحقق منه بمجرد قراءة بضع بتات، والنتيجة الرئيسية، نظرية PCP [^7]، توضح أن كل لغة في NP لديها دليل يمكن التحقق منه بمجرد قراءة البتات الثابتة للتحقق من PCP!

تم إنشاء ميكالي باستخدام شجرة ميركل كما يلي:

• يبني المُثبِّت شجرة Merkle للإثبات ويرسل الجذر إلى المدقق،
• يستفسر القائمون على التحقق عن البتات المحددة التي يرغبون في التحقق منها،
  span>
• يوفر المثبت مسار المصادقة لهذه البتات، والمدقق التحقق من هذه المسارات.

يمكن جعل هذا البناء غير تفاعلي (مثل هذه النسخة التفاعلية من التحويل التي اقترحها كيليان [ ^ 8]). تركز الورقة أيضًا على الكفاءة الحسابية: في الواقع، لا يحتاج المدقق إلى تلقي الدليل بأكمله، ولكن فقط عدد ثابت من البتات ومسار الشهادة، مما يجعل الدليل مضغوطًا. كان العيب الرئيسي لهذا النظام هو أن بناء PCP كان غير عملي، مما أدى إلى تطوير البراهين التفاعلية (IOPs)، وهو تعميم PCP الذي يمكن أن ينتج حجج عملية.

5 - عناوين IP مزدوجة الكفاءة

Goldwasser, Kalai, Rothblum - الحوسبة المفوضة: البراهين التفاعلية للـ Muggles (2015) [^9]

تركز هذه الورقة بشدة على الكفاءة وتقدم بروتوكول GKR المعروف، وهو بروتوكول تفاعلي للعملة العامة للدوائر الحسابية المتاحة. ومن الجدير بالذكر أن كلاً من أداة التحقق والإثبات تعمل في وقت متعدد الحدود، مما يجعلها برهانًا تفاعليًا ذو كفاءة مضاعفة.

يبدأ البروتوكول باتفاق المثبت والمتحقق على دائرة حسابية بمروحة إدخال تبلغ 2. يقوم المُثبت بعد ذلك بإرسال مخرجات الدائرة المُطالب بها بالنظر إلى قيم الإدخال. يستمر البروتوكول من خلال فحص الدوائر طبقة تلو الأخرى، بدءًا من طبقة الإخراج والانتقال نحو طبقة الإدخال. تقلل كل خطوة تأكيدات الطبقة الحالية إلى تأكيدات الطبقة السابقة، حتى يصل المدقق إلى الطبقة المدخلة، حيث يمكنه التحقق من تطابقها مع الإدخال الأصلي.

في كل خطوة، يكون المبدأ الأساسي المستخدم هو بروتوكول فحص المجموع [^10]، وهو دليل تفاعلي يمكّن مُثبِّت لإقناع المدقق بمجموع قيم متعدد الحدود v المتغير g مع وصول أوراكل، المحدد عبر المكعب الفائق المنطقي:

نظرًا لكفاءته وبساطته، فإن بروتوكول فحص المجموع وبروتوكول GKR تستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية. لمزيد من التوضيح، يمكن العثور على نظرة عامة بديلة لهذه البروتوكولات في ملاحظات ثالر [^11].

6 - أول سنارك عملي

جينارو، جينتري، بارنو، رايكوفا - برامج النطاق التربيعي وNIZKs الموجزة بدون PCPs (2013) [^12]

ننتقل الآن إلى ورقة تقدم أول تصميم عملي لـ SNARK! يمثل هذا العمل تتويجًا للأبحاث التي تهدف إلى إنشاء SNARKs التي لا تعتمد على نظريات PCP غير الفعالة. في حين أن نظرية PCP قدمت بناءًا نظريًا لـ SNARK، إلا أنها كانت بطيئة جدًا بالنسبة للتطبيقات العملية، لذلك حاول الباحثون إيجاد بدائل أكثر كفاءة. على سبيل المثال، اقترح جروث في عام 2010 نظام حجة غير تفاعلي يعتمد على مجموعات وأزواج ثنائية الخط [^13]، على الرغم من أنه يتطلب وقتًا تربيعيًا من جانب المُبرِح. ومع ذلك، حققت هذه الورقة زمن الإثبات الخطي، وهو ما يمثل تحسنًا كبيرًا في التطبيقات العملية.

مهد هذا العمل الطريق لبروتوكولات مهمة أخرى، مثلبروتوكول بينوكيو[^14] والبروتوكول الشهير Groth16[^15]  نظام الإثبات. كما تقدم الورقة برامج المدى التربيعي والبرامج الحسابية التربيعية، وهي بنيات لا تزال حاسمة في هذه الأنظمة.

من العيوب الكبيرة لهذه التركيبات الحاجة إلى إعداد موثوق به، وهو ما يعني إنتاج معلومات سرية أثناء مرحلة إنشاء السلسلة المرجعية العامة (غالبًا ما تسمى النفايات السامة) يمكن استخدامها لإنشاء شهادات زائفة إذا لم يتم تدميرها بشكل صحيح. بالإضافة إلى ذلك، هذا الإعداد ليس عالميًا، مما يعني أنه يلزم إعداد جديد لكل دائرة. على الرغم من هذه القيود، فإن حجم الإثبات الذي تم إنشاؤه لا يزال ضئيلًا بين الإنشاءات المختلفة، مما يجعله خيارًا شائعًا لمجموعة متنوعة من التطبيقات.

من الجدير بالذكر أيضًا أن التكرار الأول لـ Zerocash [^16] كان عبارة عن تطبيقات Blockchain مبكرة ومؤثرة في المنطقة، وذلك باستخدام zk- تم بناء SNARKs فوق هذه الأنظمة.

7 - PlonK SNARK

جابيزون، ويليامسون، تشيوبوتارو - PlonK: التباديل على قواعد لاغرانج لحجج المعرفة المسكونية غير التفاعلية (2019) [^17]

تقدم هذه الورقة البحثية المؤثرة لعام 2019 PlonK SNARK، وهو نظام يعتمد على براهين أوراكل التفاعلية لكثيرات الحدود (IOPs)، مما يعني أن المدقق يمكنه إجراء عمليات على بعض كثيرات الحدود للوصول إلى أوراكل ويمكنه تقييمها في نقاط مختارة. يستخدم النظام العديد من الأدوات متعددة الحدود لإثبات العبارات حول كثيرات الحدود، وأبرزها وسيطة المنتج الكبيرة، والتي تسمح للمُثبِّت بإظهار أن منتج التقييمات عبر المجال هو 1. باستخدام هذا، يمكننا إنشاء وسيطة التقليب لإثبات أن تسلسلين عبارة عن بدائل لبعضهما البعض. باستخدام هذه الأدوات، يستطيع المُبرِج إنشاء برهان لأي دائرة حسابية ويمكن للمُحقق التحقق منها بطريقة غير تفاعلية.

في الممارسة العملية، يتم الوصول إلى أوراكل عبر نظام الالتزام متعدد الحدود (PCS)، والذي يسمح للمثبت بما يلي:

• الالتزام بكثيرة الحدود و
• يوفر قيمًا مفتوحة لتقييم كثير الحدود عند نقطة محددة.

يسمح هذا للمدقق بالاستعلام عن كثير الحدود في أي وقت والتحقق من علاقة IOP. إن PCS المقترحة في الورقة هي خطة التزام KZG [^18]، والتي تتسم بالكفاءة والعملية. يمكّن KZG المُثبت من الالتزام بكثيرة الحدود كعنصر مجموعة واحد، ويمكن للمتحقق تأكيد القيم المفتوحة عن طريق حساب العديد من أزواج المنحنى الإهليلجي. على الرغم من أن KZG يتطلب إعدادًا موثوقًا به، إلا أنه عالمي ويمكن استخدامه على أي دائرة بمجرد الإعداد. ومع ذلك، يمكن دمج PlonK مع أنظمة PCS الأخرى لتكييفها مع أنظمة الحجج الشفافة.

علاوة على ذلك، ألهمت وسيطة التقليب في PlonK وسيطة البحث. تمكّن وسيطات البحث المُثبت من إظهار أن جميع عناصر تسلسل واحد موجودة في تسلسل آخر، وهو أمر مفيد لمعماريات zkVM. تسمح وسيطات البحث بتحليل الشاهد إلى مسارات أصغر وإثبات علاقات البحث بينهما، مما يجعل البراهين المعقدة أكثر كفاءة.

8 - ستارك

بن ساسون، بينتوف، هوريش، ريابزيف - سلامة حسابية قابلة للتطوير وشفافة وآمنة بعد الكم (2018) [^19]

تقدم هذه الورقة نظام إثبات STARK، وهو نظام إثبات شائع آخر يعتمد على FRI [^20]، وهو اختبار تقارب لبروتوكول IOP لأكواد Reed-Solomon. في STARKs، يلتزم المُثبت بتقييم كثيرة الحدود عن طريق إنشاء شجرة Merkle على المجال. نظرًا لأن القيم الملتزم بها غير معروفة في البداية، يستخدم المدقق FRI للتأكد من أن هذه التقييمات تشكل متعدد الحدود صالحًا بدرجة منخفضة بدرجة كافية. يعمل البروتوكول أيضًا كخطة التزام متعدد الحدود، مما يسمح للمدقق بالتحقق من تقييم التزام كثير الحدود في أي وقت.

إحدى الميزات الأكثر لفتًا للانتباه في STARKs هي أنها تعتمد فقط على وظائف التجزئة المقاومة للتصادم المشفرة وليس أي تشفير آخر. افتراضات التعلم، مثل مشكلة اللوغاريتم المنفصلة. وهذا يمنح STARKs ميزة من حيث الأمان المحتمل بعد الكم، حيث تعتبر وظائف التجزئة المقاومة للاصطدام على نطاق واسع آمنة حتى ضد الهجمات الكمومية. علاوة على ذلك، تتميز STARKs بأنها شفافة، أي أنها لا تتطلب أي إعداد موثوق به. كما أنها عالمية، مما يعني أنها لا تقتصر على دائرة معينة، مما يوفر المرونة في مجموعة متنوعة من التطبيقات.

9 - العودية

Valiant - الحسابات التي يمكن التحقق منها بشكل متزايد أو إثباتات المعرفة تشير إلى كفاءة الزمان/المكان. (2008) [^21]

أحد المفاهيم المهمة التي ظهرت على مر السنين هو التكرار، وهو ما يعني ببساطة أنه يمكن استخدام دليل واحد لإثبات صحة دليل آخر. يتضمن السيناريو المعروض في هذه المقالة مُثبِّتًا يرغب في إثبات صحة نتيجة عملية حسابية طويلة محتملة. باستخدام آلة تورينج، يمكننا إثبات صحة خطوة واحدة من دالة انتقال الحالة، لكن هذا لا يكفي؛ نريد إثبات صحة الحساب بأكمله، والذي يتكون من سلسلة من انتقالات الحالة.

الحساب التزايدي القابل للتحقق (IVC) الفكرة وراء ذلك هي كما يلي: لنفترض أنه يمكننا إثبات انتقال حالة واحدة من S1 إلى S2 صحيح. يمكننا بعد ذلك دمج الدليلين في دليل واحد: يُظهر المُثبِّت أنه يعرف دليلين صالحين:

سيقنع الدليل المدمج المدقق بأن النقل من S1 إلى S3 صحيح. يمكن تكرار هذه العملية لأي عدد من الخطوات، مما يسمح لنا بتكثيف الحسابات الطويلة بشكل عشوائي في برهان واحد (وبشكل أكثر تحديدًا، الحسابات الطويلة متعددة الحدود).

من المهم ملاحظة أن هذا البناء يعتمد على افتراضين رئيسيين:

• إثبات السلامة الفكرية للنظام: لا يجب على المُثِّل أن يثبت فقط أن واحدًا انتقال الحالة لكي تكون البراهين موجودة، يجب على المرء أيضًا إثبات أنه كان على علم بها. بشكل حدسي، من خلال إمكانية استخلاص المعرفة الاستقرائية، يمكننا استخلاص البراهين من جميع تحولات الحالة الفردية.
• وظيفة التجزئة في الممارسة العملية هي أوراكل عشوائي: هذا افتراض أقوى، ولكنه ضروري للتحقق من صحة إثبات التجميع النيوتروني.

على الرغم من أن هذا البناء قوي من الناحية النظرية، إلا أنه مكلف لتطبيقه عمليًا. ولحل هذه المشكلة، تم اقتراح طرق جديدة لتحسين الكفاءة. أحدها هو استخدام مخطط الطي [^22]، الذي يخفف من الافتراضات ويتجنب الحاجة إلى التحقق المتكرر من SNARK. فكرة الطي هي أنه بالنظر إلى برهانين، π و π′، يمكننا "طيهما" في برهان واحد، π″. يعتقد المدقق أنه إذا كان المثيل المطوي مُرضيًا، فإن المثيل الأصلي يكون مُرضيًا أيضًا < span style="font-size: 16px;">

10 - حساب يمكن التحقق منه عبر zkVM

Ben-Sasson, Chiesa, Tromer, Virza - المعرفة الصفرية الموجزة وغير التفاعلية لمعماريات فون نيومان (2014) [^23]

تناقش هذه الورقة النهائية أول بناء عملي آلة افتراضية صفر المعرفة (zkVM)، وهي عبارة عن آلة افتراضية تنفذ برامج عشوائية وتولد إثباتات الصحة الحسابية هذه. الجهاز الموصوف يتبع بنية فون نيومان، مما يعني أن البرامج والبيانات يتم تخزينها في نفس الذاكرة، وبالتالي فإن معظم وحدات المعالجة المركزية الحديثة تعتمد على هذا النموذج، من الناحية النظرية، يمكن لأي برنامج يمكن تشغيله على جهاز كمبيوتر كلاسيكي أن يعمل أيضًا على هذه البنية. تقدم الورقة بنية RISC تسمى vnTinyRAM وتظهر مترجم C المنقول إلى مجموعة التعليمات هذه. تم تصميم نظام الإثبات للتحقق من صحة تنفيذ البرنامج حتى عدد ثابت من الخطوات وظيفة انتقال الحالة المتكررة، يتم فتحها حتى يتم الوصول إلى الحد الأقصى لعدد التعليمات

الميزة الرئيسية لـ zkVMs التي أصبحت ذات شعبية متزايدة اليوم هي أنه يمكن كتابتها بـ <. strong>لغات البرمجة عالية المستوى. البرامج واستخدامها لإنشاء البراهين، وهذا يوفر مزايا كبيرة على دوائر الكتابة اليدوية لأن العديد من الخوارزميات القياسية وهياكل البيانات محددة بالفعل في هذه اللغات عالية المستوى، بالإضافة إلى ذلك، يمكن للمطورين إعادة استخدامها النماذج الحسابية المألوفة، مما يقلل بشكل كبير من التكلفة منحنى التعلم لاستخدام أدلة المعرفة الصفرية

ومن الجدير بالذكر أيضًا أن العديد من مجموعات zk تعتمد على هذا النموذج. ، على سبيل المثال، دعم جهاز Ethereum الظاهري (EVM). تستخدم مجموعة zk المنفذة zkVM لإثبات صحة تنفيذ EVM

أخيرًا، الورقة تقدم بنيتها الخاصة، المُحسّنة لأنظمة إثبات المعرفة الصفرية، ومن الأمثلة الشائعة الأخرى على البنية الصديقة لـ zk هي بنية وحدة المعالجة المركزية في القاهرة [^24] ، وهي وحدة معالجة مركزية كاملة تورينج مُحسّنة للإثباتات باستخدام STARKs.

أوراق مرجعية

[^1]: Goldwasser, S., Micali, S., & Rackoff, C. (1985). التعقيد المعرفي لأنظمة الإثبات التفاعلية. (رابط) ↩︎

[^2]: Fiat, A., & شامير، أ. (1986). كيف تثبت نفسك: حلول عملية لمشكلات التعريف والتوقيع (رابط) ↩︎
[^3]: Goldreich, O., Micali, S., & Wigderson, A. ( 1987). كيفية إثبات جميع بيانات NP في المعرفة الصفرية ومنهجية تصميم بروتوكول التشفير. (رابط) ↩︎
[^4]:  Ben-Or, M., Goldreich, O., Goldwasser, S. ., Håstad, J., Kilian, J., Micali, S., & Rogaway, P. (1990). كل شيء يمكن إثباته يمكن إثباته في المعرفة الصفرية (حلقة الوصل) ↩︎
[^5]:   شامير، أ. (1992) IP=PSPACE (حلقة الوصل) ↩︎
[^6]: ميكالي، س. (2000). .edu/silvio/Selected Scientific Papers/Proof Systems/Computationally_Sound_Proofs.pdf)) ↩︎
[^7]:  Cook, S. A. (1971). التحقق من الإثبات وصلابة مشاكل التقريب (الرابط) ↩︎
[^8]: كيليان، ج. (1992، يوليو). ملاحظة حول براهين وحجج المعرفة الصفرية الفعالة (حلقة الوصل) ↩︎
[^9]: Goldwasser, S., Kalai, Y. T., &. ؛ روثبلوم، جي إن (2015). تفويض الحساب: البراهين التفاعلية للخطأ (الرابط، راجع أيضًا هذه الملاحظة التي كتبها جوستين ثالر) ↩︎
[^10]: Lund, C., Fortnow, L., Karloff, H. , & Nisan, N. (1992). الطرق الجبرية لأنظمة البرهان التفاعلية (حلقة الوصل) ↩︎
[^11]: Thaler, J. (2015). br>[^12]: Gennaro, R., Gentry, C., Parno, B., & Raykova, M. (2013). 13]: جروث، ج. (2010). حجج المعرفة الصفرية القصيرة غير التفاعلية القائمة على الاقتران (حلقة الوصل) ↩︎
[^14]: Parno, B., Howell, J., Gentry, C ., & رايكوفا، م. (2016). بينوكيو: حساب عملي تقريبًا يمكن التحقق منه (حلقة الوصل) ↩︎
[^15]:  Groth, J. (2016). (رابط) ↩︎
[^16]: Sasson, E. B., Chiesa, A., Garman, C., Green, M., Miers, I., Tromer, E., & Virza, M. (2014 Zerocash: المدفوعات المجهولة اللامركزية من البيتكوين (رابط) ↩︎
[^17]: Gabizon, A., Williamson, Z. J., & Ciobotaru, O. (2019). حجج المعرفة غير التفاعلية (حلقة الوصل) ↩︎
[^18]: Kate, A., Zaverucha, G. M., & Goldberg, I. (2010). التزامات الحجم الثابت لمتعددات الحدود (حلقة الوصل) ↩︎
[^19]:  Ben-Sasson, E., Bentov, I., Horesh, Y., & Riabzev, M. (2018). الرابط) ↩︎
[^20]:  Ben-Sasson, E., Bentov, I., Horesh, Y., & Riabzev, M. (2018). (حلقة الوصل) ↩︎
[^21]: Valiant, P. (2008) تشير الحسابات أو البراهين التي يمكن التحقق منها بشكل متزايد إلى كفاءة الزمان/المكان (حلقة الوصل) ↩︎
[^22] : Kothapalli, A., Setty، S.، & Tzialla، I. (2022، أغسطس: حجج المعرفة الصفرية العودية من مخططات الطي). .، Tromer، E.، & Virza، M. (2014) المعرفة الصفرية الموجزة غير التفاعلية لهندسة فون نيومان (رابط) ↩︎
[^24]: Goldberg, L., Papini, S. ، & Riabzev، M. (2021). القاهرة – بنية وحدة المعالجة المركزية المتوافقة مع نظام STARK (الرابط) ↩︎