協力ゲーム理論：ナッシュ駆け引き理論とビットコイン

著者：Jon Gulson, Bitcoin Magazine; Compiled by Pine Snow, Golden Finance

「経済学は会計学に少し似ていると思います。福祉経済学を見て、人間の価値を考えようとすることもできるし、あらゆる種類の変種を見ることもできる」。 -- ジョン・F・ナッシュ・ジュニア、スクラントン大学、2011年11月

ジョン・フォーブス・ナッシュ・ジュニアのこの言葉は、彼の最初のゲーム理論論文「The Bargaining Problem」（1950年）から61年後に、彼が「理想貨幣と貯蓄・倹約の動機」について行った講演から引用したものです。)は61年前に発表された。

『駆け引き問題』が重要なのは、社会科学における公理的アプローチの最初の例の一つと考えられているからである。ナッシュは『駆け引き問題』を古典的な経済問題の新しい扱いとして、つまり非ゼロ和の2人ゲームとして提示し、そのゲームの値を求めるためにいくつかの一般的仮定と「いくつかの理想化」を行った。

『駆け引きの問題』から、後にナッシュが理想貨幣を研究するまでの系譜が確立されており、『駆け引きの問題』では、ナッシュは貨幣の効用について次のようにコメントしている：

「問題は、交渉者が共通の交換手段を持っている場合に、特に単純な形をとることがある。多くの場合、商品の貨幣的等価物は、満足のいく近似効用関数として機能するだろう。" John F. Nash Jr., The Bargaining Problem (1950).

ナッシュの交渉は、金融取引や契約の参加者間で1ドルをどのように公平に分けることができるかを探るもので、各当事者は一連の利益と選好を持ち、合意に至らなければ両当事者は何も得られない。そして、ナッシュ取引に導入された公理が、唯一無二の解を定義する。

ナッシュ均衡とナッシュ交渉

『The Essential John Nash』（2007年）の中で、ハロルド・クーンは、ナッシュがその後発表した非協力ゲームに関する論文（1950年）と、ナッシュ均衡として知られるようになった理論について述べています。ブルワーの不動点定理を「不器用だが、まったく独創的な応用」と呼んでいる。しかし、ナッシュがノーベル経済学賞を受賞し、世間の注目を浴びるきっかけとなったのは、ナッシュの均衡の概念であった。ナッシュの人生は後にハリウッド映画『ビューティフル・マインド』として映画化された。

ナッシュの理論は「非協力ゲーム」において、「連合が存在せず、各参加者が他のいかなる人とも協力や意思疎通をすることなく、独立して行動する」ことを前提としている。アダム・カーティスのテレビドキュメンタリー『罠』（2007年）の中で、ナッシュは自身の均衡理論を社会的調整と表現している：

「......が用いるこの均衡は、私がすることはあなたがすることと完全に両立し、あなたがすること、あるいは他の人がすることもまた、完全に両立するというものです。......によって使われるこの均衡は、私がすることはあなたがすることと完全に適合し、あなたがすること、あるいは他の人がすることも、私がすること、あるいは他のすべての人がすることと完全に適合するというものである。彼らは、ポーカープレイヤーのように、独立して最適化を求めているのだ。" ジョン・F・ナッシュ・ジュニア、『罠』（2007年、アダム・カーティス監督）、『F*ck You, Buddy.

ナッシュ均衡とナッシュ・バーゲンの違いは、公理的バーゲン（またはナッシュ・バーゲンに到達すること）は均衡を仮定しないことです。その代わりに、解決策の望ましい性質を述べています。ナッシュ交渉は、その非ゼロ和の性質と契約の存在から、協力的ゲーム理論と考えられている。ナッシュは、『二人協力ゲームにおける交渉問題』（1953）の公理的な扱いを拡張し、レフェリーが契約を執行する脅威的なアプローチを導入した。「戦略」には特別な性質はなく、ゲームの形式的な表現を決定することに関心がある。

Ideal Money and Asymptotically Ideal Money

今世紀に入り、ジョン・ナッシュは理想貨幣と呼ばれる発展的な論文を書き、教え始めた。この理論は、年月が経つにつれてさまざまな反復を経てきたが、ナッシュはそれを、インフレやインフレによる堕落を本質的に免れる貨幣と定義している。ナッシュは、ケインズという経済学者や個人を批判しているというよりも、ケインズ心理学として知られているものを批判している。ナッシュは、ケインズを持続的なインフレと通貨切り下げのための権力計画としてとらえている。ナッシュは、中央銀行がインフレを目標とするのであれば、「いわゆるインフレ率」をゼロに設定すべきだと主張する。

「本当に立派なのは、恣意的で気まぐれなインフレのパターンがあってはならないということである。貨幣価値を安定させる適切で望ましい形をどのように定義できるだろうか。" John F. Nash Jr. Ideal Money and Asymptotically Ideal Money (2010).

ナッシュは『理想貨幣』において、初期のゲーム理論で初めて確立した公理的アプローチに戻っています。

その結果、『理想的貨幣』はケインズのマクロ経済学に批判的である。

「したがって私は、ケインズのマクロ経済学は、不適切な公理セットを用いた数学分野の科学研究に匹敵すると考える。 John F. Nash Jr. Ideal Money and Asymptotically Ideal Money (2008).

ナッシュは欠けている公理を次のように定義している：

「欠けている公理とは、中央当局によって市場に出された貨幣は、長期間にわたって安定した価値を維持するように取り扱われるべきであるという、受け入れられている公理である」。 ジョン・F・ナッシュ・ジュニア『理想貨幣と漸近的理想貨幣』（2008年）。

ナッシュは、2002年のサザンマガジン版『Ideal Money』において、理想的な通貨はインフレを完全に免れない（あるいは「良すぎる」）ため、流通に問題が生じ、富を安全に保管したい関係者に悪用される可能性があることに気づきました。そこでナッシュは、安定した一定のインフレ率（または漸近率）を導入し、これを貸出契約に加えることができるようにした。

実際、ナッシュは協力ゲームとミクロ経済学の文脈で、理想的な通貨の目的について次のように述べています：

「理想的な通貨について最初に考えたときには考慮に入れなかった概念であり、後になってようやく気づいたことだが、経済社会で使用される貨幣の比較的な質は、将来の契約履行指標として、契約の精度にとって極めて重要である。ということである。 ジョン・F・ナッシュ・ジュニア『理想的な貨幣と漸近的に理想的な貨幣』（2008年）。

Bitcoin as an axiomatic design

ナッシュの経済学に対する見解が、価値観、仮定、公理、変種、理想化といった直接的な道徳観念を欠いているというものであるならば、それは非経済的なものを決定するために導入することができます。ナッシュが、サトシ・ナカモトとともに、中央集権的に管理される通貨の恣意的な（または不確定な）性質に批判的であったことを考えると、これらの公理がビットコインのシステムに存在するかどうかを検討する価値があります。

パレート効率

パレート効率の存在は、ビットコインの供給の累積密度と分布に関して言えば、ナッシュの交渉公理の最も模範的なものでしょう（図を参照）。パレート80/20の法則に従う）。

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1.スケール不変性

スケール不変性は、ビットコインの供給を「安定かつ一定」（ナッシュとサトシ・ナカモトの両氏が使った言葉）にする難易度調整メカニズムを通じて存在します。ビットコインがどれほど人気が出ようが出まいが、規模不変性は、参加者がビットコインの価値について現実的な期待を形成できることを意味するはずであり、彼らの基本的な選好はこの点で変化しないはずである。ビットコインの内部分割可能性はまた、コインの表現された価値（ドルであれ他の通貨であれ）が、実際の温度に影響を与えることなく、室温が摂氏で表現されるか華氏で表現されるかのように、短期的または即時的な時間軸では問題にならないはずであることを意味する。このような違いは、より長期的な、あるいは時間軸を超えた取引においてのみ明らかになる。

調整メカニズムはまた、ビットコインの総供給量を2,100万以下に保つもので、システムのデータ構造の副作用としてそのように設定されています。

2.対称性

ナッシュの対称性の公理は、ビットコインネットワークの匿名性と非中央集権性の中に存在します。これは、中央集権化された、あるいは信頼されたエンティティがビットコインの鋳造に責任を負わないことを意味し、ナッシュの言葉を借りれば「恩赦」である。ナッシュの駆け引きに関連して、2人のプレーヤーが同じ効用関数を持ち、したがって区別できない場合、彼らは同じ金額を受け取るべきである。アルビン・ロス（1977）は、「プレーヤーのラベルを入れ替えても交渉問題が変わらないのであれば、解を変えてはならない」と、プレーヤーのラベルの無関係性としてまとめている。

3.無関係な選択肢の独立性（IIA）

最後に、ナッシュの交渉公理の中で最も議論を呼んでいるもの、「無関係な選択肢の独立性」があります。簡単に言えば、これは、2人のプレーヤーの間の選挙に第三者（または非当選候補者）を加えても、選挙の結果が変わってはならない（第三者が無関係になる）ことを意味します。ピアツーピアが、ビットコインネットワークが「ゲーム」の第三者裁定者または審判として機能する2人用のゲームを指し、ソフトウェアが一連の価値観または公理として設計されている場合、ビットコインのプルーフオブワークには無関係な選択肢の独立性があるかもしれません。これは、社会的集団の選好の文脈におけるものである。プルーフ・オブ・ワークは、多数決における表現の決定問題を解決すると述べており、ナッシュの交渉公理（『交渉問題』と『二人協力ゲーム』の両方）は、決定論的ゲームにおける形式的表現の問題を明確に解決している。

Cooperative Characteristics and Benefits

一般的に言って、協力ゲームには次の3つの条件が必要です：

1.参加者の数が少ないこと、つまりプレイヤーが2人であること。

2.契約。プレーヤーが、裁判所などの外部機関によって強制されうる合理的な共同行動計画に合意できること。

3.参加者は、信頼できる情報に基づいてコミュニケーションや協力ができ、ゲームの構造（ビットコインのブロックチェーンなど）に完全にアクセスできる。

非ゼロサムゲームと金銭的選好の文脈で、ジョン・ナッシュは、貨幣が「潤滑油」を通じてどのように移転可能な効用を促進できるかについて考察し、次のような見解を示しています:

「ゲーム理論では通常、『ペイオフ』という概念がある。ゲームが単に勝つか負けるか（あるいは勝ったり負けたり同点になったり）だけでない場合の概念である。ペイオフを定義するために使用される効用尺度は、関連する瞬間に良好な分割可能性と測定可能性の特性を持つ任意の現実の通貨であり得るように、ゲームはすべての行動が同時に行われることを含むことができる。" John F. Nash Jr. Ideal Money and the Motives for Saving and Thrift (2011).

協力の利点には、契約や協定がより信頼できるものになるため、調停や紛争解決の必要性が減ること、貿易における国境摩擦が減ること、ゼロサムでない結果（ウィンウィンの交渉や厚生経済学）、より直感的で非公式な意思決定、ジョン・F・ナッシュが最終的に定義した世界帝国の文脈における同盟形成の可能性などがあります。後者は、ゼロ・ネット・エミッション（あるいは多国間協調を必要とするその他の問題）のような困難な問題の解決をより現実的なものにする。ナッシュは、理想的な通貨に関する自身の提案を、昔ながらのソブリン・マネーになぞらえている。

「理想的な通貨（本質的にインフレに強いもの）のいかなるバージョンも、取引に使用される実用的なメディアを提供した古典的な『君主』や『領主』に必然的に似ているだろう。'." John F. Nash Jr. Ideal Money and the Motives for Saving and Thrift (2011).

2011年、ナッシュはまた、理想的な通貨が契約であるかのような「契約締結」という「ゲーム」を考えていた：

「契約締結者のゲームに、もう一人プレーヤーがいて、そのプレーヤーが君主であるかのようだ。

"契約締結者のゲームにもう一人プレーヤーがいて、そのプレーヤーが君主であり、通貨という形で契約の表現を提供する。" ジョン・F・ナッシュ・ジュニア 理想の貨幣と貯蓄・倹約の動機 (2011).