Author: Atis E Source: medium Translated by: goodObjects, Golden Finance

本記事では、CEX/DEXの裁定取引の仕組みについて考察する。/DEXの裁定取引の仕組みについて、AMMの執行の側面に焦点を当て、ブロック時間、ブロック基本料、およびこれらの取引に関与する参加者（リミテッド・パートナー、サーチャーなど）の関係を示すことを目的としています。利用可能なソースコードによるシミュレーション結果も含まれています。

CEX/DEX裁定取引がDEX出来高のかなりの部分、おそらくその大部分を生み出していることは広く認識されています。損失とリバランス（LVR）モデル1は、理論的な観点から裁定取引量を定量化し、モデル化する方法です。

しかし、誤った解釈や誤解を受けやすい。例えば、研究 論文の記述（あるいはimplies）は、裁定取引の有限パートナー損失はブロック時間の平方根として成長するという仮定を述べている。これは理想化されたセットアップでLVRをモデル化することから来ている。しかし、実際にシミュレーションを行った研究（この研究など）は、通常、ブロック時間が短いほど影響が小さいことを明らかにしている。.これらの異なる結果をどのように調和させ、理論と実践のギャップを埋めるのだろうか？

この食い違いの多くは、LVR研究で一般的にモデル化されているように、裁定取引は2人プレイのゼロサムゲームであるという仮定から来ていると主張することができる。しかし、EIP-1559以降の世界では、この仮定は無効である。各裁定取引は、検索者、構築者、提案者（本稿で後述するSBP）の間で利益を分配するだけでなく、裁定取引時のブロックスペースの需要に基づいていくらかのETHを消費する。物理学の用語を借りると、基本料金はプロセスに摩擦を導入する。物理学の用語を借りると、基本手数料はプロセスに摩擦をもたらします。この摩擦は潜在的な取引の大部分を排除し、リミテッド・パートナーの収入を減らします。

1-現実世界のDEXでは、LVRによって損失を正確に定量化する実体が存在しないため、個人的には、これをCVR（コストとリバランス）と呼びたい。その代わりに、DEXの設計者とLPが考慮できる重要な問題は、理論上のLRVの何パーセントにさらされているかということです。つまり、裁定取引トレーダーのみが使用するDEXのモデルでは、LVRの一部が実際にLPの予想損失となります。とはいえ、これ以上の混乱を避けるため、この記事ではLVRにこだわることにします。

価格行動の例

裁定取引のメカニズムを詳しく調べてみましょう。下のチャートは、CEXの価格が裁定取引を呼び込むのに十分なほど変化した後の、DEXプールにおける典型的な状態を示しています。

次のチャートは裁定取引後の状態を表しています。DEXの価格はP_OldからP_DEXにシフトし、LPは次のように取引されています。P_Sale価格、これは2つの価格の幾何平均を表します。新しいDEX価格は、まだCEX価格からわずかに乖離していますが、非裁定価格の範囲内にとどまっています。したがって、CEX価格がわずかに上昇するか、または急激に下落して非裁定取引のしきい値を完全に超えない限り、それ以上の取引は行われません。

今、CEXの価格が0.001%上昇したらどうなるでしょうか？取引は成立しません。これは、マイニングプールの取引所手数料によって生じる非裁定ギャップの両側に摩擦領域があるためで、ブロックチェーンの基礎コストや、CEX手数料（もしあれば）、優先手数料とブロック提案者への賄賂、裁定者の予測精度やリスク許容度などの他の要因によって引き起こされます。

本稿では、ブロック基本料が摩擦の大部分を引き起こすと仮定し、他の要因は無視する。基本手数料によって生じる摩擦は裁定取引を行う者にとって予測可能であり、彼らは次のブロックの基本手数料を差し引いた後の期待利益がマイナスとなるスワップを結ぶ可能性は低い。

単取引LVR分析

CEXとDEXの気配値の差がある場合。CEX相場とDEX相場の差がプールのスワップ金利を上回るのに十分な場合、裁定取引が発動されます。ただし、1回の裁定取引で達成されるLVRは、そのスプレッドに比例するわけではない。代わりに、LVRはCEXとDEXの取引執行価格の差に比例します。CEXの取引執行価格は気配値に等しいが、DEXの取引執行価格はP_Saleであり、取引前後の気配値の幾何平均であるとします。

さらに、シングルトランザクションのLVRは3つのエンティティに分配されます:

• シングルトランザクションのLVRは3つのエンティティに分配されます。

• 流動性プロバイダー

• サーチャー、ブロックビルダー、ブロック提案者（SBP）の集合体

• 取引で破壊されたETHによって影響を受けるETH保有者



LPはスワップ手数料を受け取り、SBPは裁定利益を受け取る。SBPはアービトラージ（裁定取引）利益を受け取り、それが3人の参加者に分配される。統合サーチャー・ビルダーが裁定取引市場を支配するのは、彼らが利益分配におけるプリンシパル・エージェント問題の単純化版に対処しなければならないからである。

ETH保有者は直接補償されませんが、デフレ圧力により長期的にETHの価値は緩やかに上昇します。

高いボラティリティは価格上昇の可能性を高め、裁定取引を増加させます。加えて、期待値が大きく跳ね上がる可能性もある。リミテッド・パートナーの手数料は通常、ボラティリティとは無関係であるため、ボラティリティが上昇するとリミテッド・パートナーへの配分が不公平になる。

一つの取引のLVRとその取引のLP手数料を比較することで、LPに対する取引の公平性を評価することができます。ジャンプのない滑らかな価格変動の場合、LP手数料はLVRをほぼ回収し、LPの損失は小さい。しかし、DEXからCEXへのスプレッドがブロック時間粒度やCEXでの実際の価格の不連続性により変動した場合、LP手数料はLVRを下回り、この（理論的な）リバランス戦略ではLPの損失が生じます。

シナリオの例

ユニスワップv3のETH/USDC 0.05%プールの範囲で流動性をモデル化してみましょう。2024年4月現在、このプールには～10億ドル相当の仮想資産があり、これは～1億5,000万ドルの現物資産に相当し、流動性集中度は6です。比較的小さなサイズでも裁定スワップを行えるようにするには、深い流動性を持つことが重要です。価格変動。

単純なUniswap v3スワップは、150、000ガスを消費する可能性があります。これは、合理的な22グウェイの基本手数料コストと3000ETH/USDC価格を想定した場合、交換あたり10ドルのドルコストに相当します。DeFiのストレスやボラティリティが高い時期には、コストは簡単に数倍になります。

例1

ETHの開始価格がCEXとDEXの両方で3000ドルだと仮定します。

まず、CEX価格が+0.1%変化したときに何が起こるかを見てみましょう。CEX価格は現在3003ドルで、裁定取引禁止ゾーンの外側にあります。アービトラージャーはDEXの目標価格P_Tを計算します。これはプールによって課される0.05%の手数料のため、3003 - 0.9995に等しく、DEX価格を目標価格まで引き上げるために、USDCの一部をDEXでETHと交換します。交換量は、プールの流動性Lと（仮想）準備金xとyによって定義されます：



これは手数料なしの金額を返します。を取得するには、結果を0.9995で割る必要があります（0.05%プールの場合）。

LVRはデルタとCEX価格P_Cから計算されます:



次に、LVRはLP料金部分に分けられる。はLP手数料部分、SBP利益部分、ブロック基本料に分けられ、ガス代以外は取引内容に依存しない。





SBPの利益がプラスになると推定される場合。

SBPの利益の見積もりが正であれば、取引が行われる可能性があります。

10億ドル相当の仮想資産プールの例では、スワップのLVRは93.66ドル、LP手数料は62.46ドルであり、その結果、理論上の単一取引のLVRの33.3%がLPの損失として実現されます。損失の約3分の1は、10ドルのブロック基本手数料によるものです。

例2

前提は同じですが、CEX価格を1%変動させます。

このシナリオでは、リミテッド・パートナーは1,184.66ドルの手数料を受け取ります。しかし、単一案件のLVRはさらに早く12,406.47ドルに上昇し、LPは理論上のLVRの90%を失うことになります。

これは、リミテッド・パートナーの損失が価格変動と超直線的に関係していることを示しています。価格は10倍（0.1％対1.0％）上昇しますが、LPの損失は360倍（31.19ドル対11,221.81ドル）以上増加します。



例3

前の例から分かるように、もし有限責任組合員がのパートナーは、一度に取引するよりも、少しずつ取引した方が得である。

価格が+0.1%変化するショートブロックの世界を2回（つまり、$3,000から$3,003へ、そして$3,006へ）、価格が+0.2%変化するロングブロックの世界を1回考えてみよう。

LPのコストは187.39ドルで、どちらの場合も同じです。(これらの取引は、複利コストがないと仮定しているため、経路に依存しません)。しかし、2番目の方がLVRが高い。

具体的には：

• ショートブロックの場合、累積LVRは343ドルで、LPの損失は45.4%です。

• ロングブロックの場合、累積LVRは468ドル、LP損失は60.0％です。

例4

最後に、価格が変動する例を考えてみましょう。まず、価格が-0.1%変化し、その後開始価格から+0.2%上昇します。ショート・ブロックの世界では、リミテッド・パートナーは2回取引できますが、ロング・ブロックの世界では、価格の下落とその反転がブロック内で発生するため、リミテッド・パートナーは取引できません。

結果：

• ショートブロックの場合、累積LVRは843ドル、LP手数料は312ドルです。LP損失は63.0%です。

• ロング・ブロックの場合、累積LVRは248ドル、LPコストは187ドル、LP損失は60.0%です。

この例は、LVRが直感に反する指標であることを示しています。短いブロックの世界では、マイニングプールの取引量ははるかに多く、それに対応して手数料も高くなります。さらに、最終的な価格は同じであるため、どちらの世界でも無常的な損失は等しくなります。しかし、長いブロックの世界では、達成されるLVRとLVRによって定量化されるLP損失の両方が高くなります。

例題の要約

要約結果：

• 価格がLVRを上回った場合、LP損失はLVRによって定量化される。: left;">価格がGBMプロセスとしてモデル化できるのであれば、全体的にどちらのモデルも、短いブロックの世界が望ましいことを示唆しています。

• 価格が平均値付近で変動するなど、他のパターンに従うのであれば、LVRモデルによれば、ブロックが短いほど悪い結果につながる。



LP結果は上の画像にまとめられている。

リミテッド・パートナーの視点から見ると、無常損失＋費用を指標として使用することで、非常に異なる結果が得られることを強調しておく価値があります：



しかし、我々は、GBMの仮定に従う揮発性ペアについては、LVRの期待値がILの期待値に等しいため、ILとLVRに基づくモデルは最終的に同じ結果に収束するはずであることを知っている。ここまで分析した特定のケースを超える必要がある。次のセクションを参照されたい！

シミュレーション研究

以下のチャートは、確率的GBMを使用してシミュレーションしたDEXのパフォーマンス指標を示しています。シミュレーションでは、年間50%のボラティリティを想定しており、これは12秒ブロックでは約2.6%、1ブロックあたり0.03%の日次ボラティリティに相当します。これは近年のETHのおおよそのボラティリティです。



シミュレーションは3600秒間実行され、偶然の一致により、LVRは1秒あたり約1ドル、1時間あたり3600ドル²でした。 LPの損失は1時間あたり350ドルから900ドル（年間3ドル）でした。LP損失は1時間あたり350ドルから900ドル（年間300万ドルから800万ドル）。明確にしておくと、この理論モデルには、ノイジー・トレーダー/情報弱者トレーダーからのLP手数料は含まれておらず、彼らのLVRはゼロであると予想されるため、裁定取引におけるLP損失を補填している。





結果は、基本コストがゼロのとき、LP損失は関数sqrt(blocktime)+constを正確にモデル化した場合 (つまり、短いブロックでもx軸からいくらかのオフセットがあるため、それ自身の平方根ではありません)、LP損失は確かに削減できることがわかります。しかし、EIP-1559の基本手数料をモデルに導入すると、この結果はもはや成り立たなくなります。加えて、より重要なこととして、基本手数料のコストはx軸からの一定のオフセットを増加させます。



² - 選択した設定をシミュレートした結果、メインのオンラインUniswap v3 USDC/WETH 0.05%マイニングプールとして使用することができます。マッチを分析し、経験的なパフォーマンス間の違いの最大の理由を特定することは、さらなる研究の対象になるかもしれません。

結果の一般化

1. 他のプールへの一般化。シミュレーション結果はUSDC/ETH 0.05%プールに特有のものであり、これは一般的にUniswap v3で最も流動性が高く、ボラティリティの高いプールです。流動性の低いプールでは、基本手数料による摩擦の重要性が増します。例えば、ETH/USDT 0.05%プールの流動性が1/3だとします。基本手数料が$10のこのプールの結果は、基本手数料が$30のUSDC/ETHプールの結果と一致します。より流動性の高いプール（USDC/USDTや他の安定したペアなど）では、摩擦は同様に減少します。

2. 他のチェーンへの伝播。このモデルでは、より短いブロックは、より多くのブロックスペースを追加するのではなく、利用可能なブロックスペースを単に異なるように分割すると仮定しています。ブロック時間の短縮が基本料金の比例的な削減を伴う場合、シミュレーション結果は一般化できず、非常に異なるものになるでしょう。

理論的な結果を再現する

(これは、ほとんどの読者が読み飛ばすことができる、はるかに技術的なセクションです)。私のシミュレーションが正確である保証はありませんが、論文「Automated Market Making and Arbitrage Profits in the Presence of Fee」の結果と比較することは可能です。

1. 論文では、取引が摩擦のないものであると仮定しています。またはその他のコストはありません。

2. 本稿では、ブロックタイムのポアソン分布を仮定しています。

一様でないブロック時間を組み込むためにDEXシミュレーションを再設計する代わりに、私は「高速」シミュレーション用に別の関数を設計しました。他の指標は使用しない。結果は論文とほぼ一致しています。



関数を一様なブロック時間を使用するように変更した場合、結果はわずかに異なりましたが、大きな違いはありませんでした。完全なDEXシミュレーションの結果は、高速シミュレーションとよく一致しており、正しく実装されていることを確信させます。(少なくとも、同じ仮定で）



しかし、ゼロでない基本コストを加えると、ブロックから出る時間が短くなることによるプラスの影響は大幅に減少します。align:center">

ブロックチェーン設計への示唆

上のDEXパフォーマンス指標グラフの「LP損失」曲線は、次のことを明確に示しています。LP損失は、基本料金がゼロでない限り、ブロック時間の平方根に比例して増加することはありません。これは新しい発見でも予想外の発見でもなく、取引頻度が高いほど取引コストが高くなるという原則を繰り返し示しているに過ぎません。しかし、平方根時間モデルが一般的な仮定となっていることを考えると、より広く普及させることが有益かもしれない。

その仮定と矛盾する重要な結果を1つだけ挙げてみましょう。: left;">2秒のブロックアウトタイムでチェーン上の5bpsのプールで流動性を提供するため

取引の基本手数料が$10に等しい場合。リミテッド・パートナーの相対的な損失は、それぞれ26.9%と31.3%です。現実の世界では、5ベーシス・ポイント・プールの方が確かに良いかもしれないが、それはノイズの多い/情報を持たないトレーダーからの十分な取引量がある場合に限られる。

短いブロックはリミテッド・パートナーに有利ではあるが、その影響は限定的であり、他の要因（基本手数料、流動性の深さ、マイニングプールの手数料階層、その他の潜在的要因）ほど重要ではない。より説得力があるのは、トレーダーの視点（より速い確認は取引ユーザーのエクスペリエンスを向上させるため）、または他の参加者、例えば小規模なブロックビルダーからである。を獲得するチャンスが増えるからである。しかし、ブロックアウト時間の短縮は、重大な集中化リスクも伴う。ネットワーク・バリデーターのネットワーク帯域幅とレイテンシー要件の増加、処理要件の増加、地理的近接性の重要性の増大などである；言うまでもなく、L2への移行、L1への事前検証の追加など、代替案の存在によって議論全体の形が変わる可能性があります。

そこで、ブロックタイム設計の問題を2つの部分に分けることができます：

• L1の視点：分散型、信頼できる。中立的な設計は、イーサや、イーサと競合するように設計された他のL1ブロックチェーンにとって絶対に必要です。どんなに重要であっても、単一のアプリケーションのパフォーマンスのために過剰に最適化されるべきではありません。

• L2/アプリチェーンの視点：対照的に、L2またはアプリチェーンは、汎用アプリのために設計をカスタマイズする必要はありません。そうでない場合、逆説的だが、EIP-1559の基本手数料からCEX/DEXの裁定スワップを免除することは、DEXユーザーに利益をもたらすだろう。

要約

要約すると、

• 裁定取引は、EIP-1559の基本手数料やその他の要因により、摩擦がありません。

• その結果、現実世界のDEXにおける理論的なLVRは、LP、ETH誓約者、集団としてのSBPの3つのエンティティに分割されます。価格変動がより緩やかであればあるほど、これら3つのエンティティ間でLVRがより公平に分配されます。

• 取引コストが高いチェーンでは、ブロックタイムを変更しても、リミテッド・パートナーの利益は、他の要因に比べてわずかにしか増加しない。