ビットコインに隠されたノーベル賞：投票のパラドックスとアローの不可能性定理

今日はアメリカの選挙の日だが、昨夜のインサイダー「11.4ティーチング・チェーン・インサイダー：アメリカ選挙、ニューマネー対オールドマネー、鹿はどっち？は、この問題の賛否両論に関する情報をまとめた。トランプ・トレード」の下げに影響され、夜間BTCは30日SMAの66.9k付近まで一旦戻した。

米国の選挙は投票民主主義だ。しかし、投票は本当に民主主義を実現できるのだろうか？悲しいことに、そうではない。不正投票や違法投票のような運用上の問題を除外したとしても、投票が民主主義を実現しないことを証明することは数学的に可能である。これこそ、1972年にノーベル経済学賞を受賞したケネス・J・アローが行ったことである。

民主主義とは何か？民主主義とは、人々の集団が、集団内の最大多数の人々の利益を満たす制度的アプローチを用いて、集団的選択、すなわち集団的決定を行うことである。

ほら、民主主義には何よりもまず境界がある。アメリカ人のための民主主義は、あくまでもアメリカ人の利益のためにある。そして、それは地球上の他の非アメリカ人の利益を害するのだろうか？確かにその可能性はある。

第二に、民主主義の目的は集団的な決定を下すこと、あるいは特定の集団的な選択をすることである。投票はそのための手段であり、方法である。

最後に、民主主義の目的は利益であり（道徳でも何でもない）、最終結果は最大多数の人々の利益にならなければならない。

仮に、ある集団によって集団的になされた決定が、実際に多数派の利益を優先するかどうかという問題を無視したとしても、集団的な選択をするというステップだけで、アロは、どのような投票システムも実際に結果を得るようには設計できないことを証明している。

アローが1972年にスウェーデンのストックホルムで開催されたノーベル賞授賞式で発表した報告書『一般生態均衡：目的、分析技法、集団的選択』は、どのような投票制度も真の結果を生み出すようには設計できないことを示している。スウェーデンのストックホルムで開催されたノーベル賞授賞式で発表された報告書『General Ecnomic Equilibrium: Purpose, Analytic Techniques, Collective Choice』の最後に、彼は18世紀のフランスの学者コンドルセが例証した投票のパラドックスを引用した。

その例は次のようなものだ：

チャン・サン、リー・シー、ワン・ウーの3人がいて、昼に会って一緒に昼食を食べに行く。選択肢は3つ：カスレ飯、デルタピザ、KFCバーガー。

張三の好みは：カスレ > ピザ > ハンバーガー

李斯の好みは：ピザ > ハンバーガー > カスレ

King 5の好みは：ハンバーガー > カスレ > ピザ

3人のグループのうち、最も良い選択肢に民主的に投票できるような投票システムを考案してください。

そのような民主的な投票システムが存在しないことは、中学の数学をパスした人なら誰でもわかる！

投票の結果がカスレだった場合、満足するのは張三ただ一人。そして、リー・シーもワン・ウーも、ハンバーガーよりカスレを選んだほうがいいと感じている！

投票結果がピザの場合：満足するのはリー・シーのみ。

投票結果がピザの場合：李斯だけが満足している！

投票結果がハンバーガーだった場合：満足したのはワン・ウーただ一人。そして、チャン・サンもリー・シも、ピザよりハンバーガーを選んだほうがいいと感じている！

ほら、こんな単純なシステムでも民主主義は実現できない。選挙がどのように行われようと、国民の大多数は不満を抱いている。

これはたった3人が食べるものを選んでいるだけだ。もし3億人が大統領を選んだとしたら？投票選挙が真に民主的な決定、つまり最大多数の人々の利益のために選ばれる大統領になることを保証するシステムはあるのだろうか？

これ以上複雑な設計は、この根本的な問題を曖昧にするだけで、解決にはまったく何の役にも立たない。なぜなら、これは数学と論理の問題であり、システム設計で解決できるものではないからだ。

アローは、アローの不可能性定理と呼ばれる厳密な数学的証明によって、この問題を推進し、形式化した。

民主的な意思決定や投票システムでは、メンバー全員の個人的な選好に基づいて集団的な意思決定を行うことが望ましい場合が多い。

アローの不可能性定理は、個人の選好を集約して社会的選好を形成しようとするいかなるルールも、以下の5つの一見合理的な条件を同時に満たすことはできないことを示している。

1.非独裁：一個人が社会の選好を完全に決定することはできない。言い換えれば、社会的選好は一個人の選好と同じであってはならず、集団的意思決定は複数のメンバーの意見を反映すべきである。

2.パレート効率：もし全員がBよりAを好むなら、社会の選好はBよりAを反映すべきである。

3.無関係な代替案の独立性（IIA）：AとBに対する社会の選好の関係は、AとBに対する人々の選好のみに依存すべきであり、他の選択肢の影響を受けるべきではない。つまり、無関係な代替案Cを加えても、AとBの順位は変わらないはずである。

4.他律性：社会的選好がAはBより良く、BはCより良い場合、社会的選好はAがCより良いようなものでなければならない。

5.無制限領域：個人の選好の可能な組み合わせはすべて許容されるべきである。

アローは、候補者が3人以上いる場合、どの選好集約メカニズムもこれら5つの条件を同時に満たすことはできないと証明した。言い換えれば、いずれかの条件を落とすか、不完全な意思決定システムを受け入れる必要がある（例えば、意思決定を行う「独裁者」を受け入れるか、一貫性などの条件を満たさないシステムを許容する）。

アローの不可能性定理は、公正で合理的かつ一貫性のある集団的意思決定を追求する上で、避けられない矛盾があることを示唆している。この定理は、政治学、経済学、社会的選択理論、投票制度設計の分野に広範な影響を与える。すなわち、個人の選好を集約するための完全に公正な意思決定メカニズムを見つけることができないかもしれないということである。

アローの不可能性定理は、集団的意思決定における根本的なパラドックス、すなわち、合理的な条件を満たしながら完璧な社会的選択のルールを考案することは不可能であることを明らかにしている。この定理は、どのような集団的意思決定メカニズムも、公平性、一貫性、合理性の間のトレードオフを必要とすることを教えてくれる。

サトシ・ナカモトが2008年に発表したビットコインに関するホワイトペーパーでは、多数決の問題が取り上げられています。それは、サブセクション4の「プルーフ・オブ・ワーク」にあります。

「プルーフ・オブ・ワークは、多数決における代表の決定という問題も解決します。もし1票のシステムが1つのIPアドレスに基づいて多数決を決定するために使用されるなら、そのシステムは多くのIPを割り当てる能力を持つ誰にでも覆すことができます。プルーフ・オブ・ワークロードは基本的に1CPU1票である。多数決は、最大のプルーフ・オブ・ワークが投資された最長のチェーンによって代表される。CPUパワーの過半数が正直なノードによってコントロールされている場合、正直なチェーンはできるだけ早く成長し、競合するチェーンを凌駕する。過去のブロックを修正するには、攻撃者はそのブロックとそれ以降のすべてのブロックのプルーフ・オブ・ワークをやり直し、正直なノードの作業量に追いつき、追い越す必要があります。後で示すように、遅い攻撃者が追いつく確率は、後続のブロックが追加されるにつれて指数関数的に減少します。"

サトシ・ナカモトがここで「1CPU、1票」と語っているのは、本当に1票の演算シェアという意味です。その1つのCPUにどれだけの計算能力があるかというと、実際にはネットワーク全体の計算能力に対するノードの計算能力の比率なのです。

分散システムの一貫性も、集団的な選択の問題です。ただ、その集団的な選択は、所有者の意志を自動化するコンピュータによって行われるだけなのです。

従来の解決策は、BFT（ビザンチン・フォールト・トレランス）のような論理的投票でした。

サトシ・ナカモトは、こうした古い行き止まりの道を完全に放棄しました。ビットコインのホワイトペーパーは、伝統的な分散アルゴリズムについて一言も触れておらず、それらが存在しないかのように、それらに関する参考文献も引用していない。

上記のホワイトペーパーのサブセクション4で、サトシ・ナカモトは「ヘッドカウント」（IPアドレス）による投票が必然的に不正投票の問題にぶつかると指摘している。アメリカの選挙でもそうだったが、選挙権のない留学生も簡単に投票していた。猫や犬の名前で投票していたと明かす人さえ少なくない。

分散システムには「シビル・アタック（Sybil attack）」と呼ばれる偽装ID攻撃という言葉がある。魔女はドッペルゲンガーの比喩です。

米国の選挙システムは魔女の攻撃に対抗できるのか？欠陥があるように見える。

票の偽造で得られる利益は非常に小さく、犯罪に巻き込まれる可能性による損失は非常に大きいため、誰もそんなことはしないと主張する人もいるかもしれない。しかし、もし偽票攻撃を組織的に行っているのが競技関係者の一人であれば、それは大きな利益を得ることになる。

また、投票用紙が記録された全米のIDシステムでは問題は解決しないと言う人もいる。しかし、IDカードと記録された投票は、民主主義を妨げる別の問題をもたらすだろう。その上、IDカードの統一的な発行と認証は、別の中央集権的な権威の導入を意味する。

ビットコインのシステムが完全に非中央集権的であるためには、このような中央集権的な解決策も不可能である。

サトシ・ナカモトは別の考え方に切り替え、「プルーフ・オブ・ワーク」で皆に投票させた。

簡単に言えば、より多くの仕事をした人がより多くの発言権（投票権）を持つということだ。より多くのコイン（より多くのお金）を持っている人がより多くの発言権を持つのではないことに注意してください。

マルクスとエンゲルスが労働者階級を権力の座に維持することについて言ったことと同じだ。先進的な生産力を最もよく代表する集団に、最も権力を握らせるのだ。

なぜか？なぜなら、コインを保有するユーザーは、いつでも採掘をやめて逃げることができるからだ。そして、採掘者の採掘マシンは一度配備されると、スイッチを切れば鉄くずとなる。国の基本プレートが資本家ではなく、労働者や農民の労働大衆である理由もここにある。

もちろん、現実世界でどれだけの労働が行われているかは、分業制の違いなどもあり、測定や比較は容易ではないが、すべて同じハッシュ計算であるビットコインのシステムの場合ははるかに単純で、測定や比較も容易だ。

生産性の民主主義であるプルーフ・オブ・ワーク、つまり計算力の民主主義に投票することで、サトシ・ナカモトが「最長チェーン」と呼ぶものが生まれる。

「2008年11月8日付けの電子メールで、サトシ・ナカモトは『CPUパワーによるプルーフ・オブ・ワーク投票が最終決定権を持つに違いない』と書いている」。最も長いチェーン（累積パワーが最も大きいチェーン）が有効なチェーンであると皆に納得させることが、グローバルなコンセンサスを構築する唯一の方法である。"">"サトシ・ナカモトは2008年11月8日の電子メールでこう書いている。-- Bitcoin History, Chapter 11, #51, "Arithmetic Democracy"

ご覧の通り、ビットコインのシステムは「一党独裁制」であり、最長チェーンは1つしかなく、米国のような「二大政党制」ではない。アメリカのような「二大政党制」-2つの同等のチェーンから選択する。そうでなければ「脳の亀裂」が生じる。最も長い鎖がシステムのシェリングポイント（米国の経済学者トーマス・シェリングが提唱したデフォルトのコンセンサス）である。

システムに演算能力を提供するノードはすべて、新しいブロックを提案する権利を得て、最長チェーンを延長する。最長連鎖の延長は、実際には最長連鎖の承認であり確認である。

演算に貢献する他のすべてのノードは、この新しいブロックを検証し受け入れることで、拡張された最長チェーンの承認を得ることができます。

半数以上のノードが拡張された最長チェーンを認識すれば、これが新しいグローバルコンセンサスとなります。

ビットコインの歴史、第11章、第51話「算術民主主義」の最後で、ティーチチェーンはこのように要約しています：

マイナーは算術によって、100年間最長チェーンの原則を守るよう投票するが、マイナーはコンセンサスルールを改ざんできない。コンセンサスルールを改ざんすることはできない。コンセンサスルールはビットコインのコアとなるオープンソースコードに定義されており、それを変更する権限は開発チームにあるが、マイナーやユーザーは新しい開発チームを選出し、コードをフォーク（オープンソースコードのコピーをコピーし、別個にメンテナンスすること）する権利を持っているため、チームはコンセンサスルールを破るようなことはできない。最終的な決定力は、どのコインを売り、どのコインを買うかを決める大多数のコインユーザーであり、彼らの足で投票することである。水は船を運ぶが、船をひっくり返すこともできる。しかし同時に、ユーザーは「暴徒」であり、彼らは好きなように行き来できるマイナスの自由を持っているだけで、開発チームにルールを変更させるプラスの自由や力を持っているわけではない。

「自由を持つ者には力を持たせず、力を持つ者には自由を持たせない。好きなように出入りし、好きなようにはできない。それがビットコインの算術民主主義だ。"